MATEMATIKA DALAM TEKNIK KONTROL

Tujuan

Mahasiswa menguasai teknik penyelesaian analisis matematika dalam lingkup teknik control untuk system kontinyu dengan menggunakan MATLAB

Polinomial

Matlab menyediakan fungsi operasi standar dari polinom, seperti akar polynomial, evaluasi, dan turunan. Sebagai tambahan, fungsi-fungsi berikut diberikan untuk aplikasi lebih lanjut, seperti pencocokan kurva dan ekspansi fraksi parsial.

Fungsi	Deskripsi
Conv	Perkalian polynomial
Deconv	Pembagian polynomial
Poly	Polynomial dengan akar-akar tertentu
Polyder	Turunan polynomial
Polyfit	Pencocokan kurva polynomial
Polyval	Evaluasi polynomial
Polyvalm	Evaluasi matrik polynomial
Residue	Ekspansi fraksi parsial
Roots	Mencari akar-akar polynomial

1.      Representasi MATLAB

Penggambaran polynomial sebagai vector baris yang terdiri atas koefisien-koefisien polinomnya. Sebagai contoh, persamaan berikut:

Kita masukan kedalam MATLAB sebagai berikut:

>>P=[1 0 -2 5];

2.      Akar Polinomial

Fungsi roots menghitung akar-akar dari polynomial:

>>r=roots(p);

r=

     2.0964

     -1.0473+1.1359i

     -1.0473-1.1359i

Yang disempan dalam bentuk vector kolom. Fungsi poly mengembalikan ke koefisien polinomnya:

>>p2=poly(r);

p2=

     1 8.8818e-16 -2 -5

3.      Evaluasi polinomial

Fungsi polyval mengevaluasi polynomial pada suatu nilai tertentu. Untuk mengevaluasi p pada s=5, maka digunakan:

>>polyval(p,5)

ans = 110

fungsi ini juga memungkinkan untuk mengevaluasi polynomial dalam bentuk matrik. Dalam kasus  menjadi , dimana X adalah matriks square, dan I adalah matriks identitas. Misalkan, dibuat matriks square X dan evaluasi polynomial p pada X:

>>X=[2 4 5;-1 0 3;7 1 3];

>>Y=polyval(p,X)

Y=

     377  179  439

     111  81   136

     490  253  639

4.      Perkalian dan Pembagian Polinomial

Perkalian polinom dan pembagiannya berhubungan dengan operasi konvolusi dan dekonvolusi. Fungsi conv dan deconv digunakan untuk menjalankan operasi ini. Misalkan ada dua buah polynomial,  dan . Untuk menghitung hasil kalinya kita gunakan:

>>a=[1 2 3]; b=[4 5 6];

>>c=conv(a,b)

c=

     4 13 28 27 18

Gunakan dekovolusi untuk membagi a(s) kembali kepada pengalinya:

>>[q,r]=deconv(c,a)

q=

     4 5 6

r=

     0 0 0 0 0

5.      Turunan Polinom

Fungsi polyder digunakan untuk menghitung turunan (derivasi) setiap polynomial. Untuk mendapatkan turunan polynomial , maka:

>>p=[1 0 -2 5];

>>q=polyder(p)

q=

     3 0 -2

Polyder juga menghitung turunan perkalian atau pembagian dua polynomial. Sebagai contoh, kita buat dua polynomial a dan b:

>>a=[1 3 5]; b=[2 4 6];

Turunan perkalian a*b dengan fungsi polyder menggunakan satu argument keluaran:

>>c=polyder(a,b)

c=

     8 30 56 38

Turunan dari pembagian a/b dengan memanggil polider menggunakan dua argument keluaran:

>>[q,d]=polyder(a,b)

q=

     -2 -8 -2

d=

     4 16 40 48 36

6.      Ekspansi Fraksi Parsial

Fungsi residu digunakan untuk mencari rasio ekspasi parsial dari dua polynomial. Sangat berguna untuk menggambarkan system dalam bentuk fungsi transfer. Untuk polynomial a dan b, dirumuskan sebagai fungsi transfer berikut ini:

Dimana r adalah vector kolom residu, p adalah lokasi kutub (pole) vector kolom dan k adalah vector baris. Misalkan diperoleh fungsi transfer berikut ini:

Digunakan fungsi residu untuk mencari nilai r, p dan k:

>>b=[-4 8]; a=[1 6 8];

>>[r,p,k]=residue(b,a)

r=

     -12

     8

p=

     -4

     -2

k=

     []

Untuk mengembalikan ke bentuk aslinya, kita gunakan fungsi yang sama tetapi argument keluarannya berbeda.

>>[b2,a2]=residue(r,p,k)

b2=

     -4 8

a2=

     1 6 8

Contoh lain:

Diberikan fungsi transfer sebagai berikut:

Untuk mencari r, p dan k digunakan cara seperti contoh sebelumnya:

>>num=[2 5 3 6];

>>den=[1 6 11 6];

>>[r,p,k]=residue(num,den)

r=

     -6.0000

     -4.0000

      3.0000

p=

     -3.0000

     -2.0000

     -1.0000

k=

     2

Hasil di atas memperlihatkan fraksi parsial dari fungsi transfer di atas:

Untuk mengembalikan ke bentuk semua:

>>[num,den]=residue(r,p,k)

num=

     2.0000 5.0000 3.0000 6.0000

den=

     1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

7.      Transformasi Laplace

Transformasi laplace digunakan untuk mengubah system fisis atau suatu fungsi dalam domain waktu ke domain frekuensi atau variable kompleks. Dalam MATLAB, sintaks yang digunakan transformasi laplace adalah sebagai berikut:

L=Laplace(F)

L=Laplace(F,t)

L=Laplace(F,w,z)

Dekripsi:

• L=Laplace(F)

Adalah transformasi laplace dari symbol scalar F dengan variable default t. Variable tersebut mengembalikan fungsi ke variable s.

F=F(t) à L=L(s)

Jika F=F(s), fungsi Laplace akan mengembalikan fungsi dalam t ;L=L(t)

Transformasi laplace dalam fungsi matematika nya adalah sebagai berikut:

Dimana t merupakan variable simbolik domain t dalam fungsi F

• L=Laplace(F,t)

Membuat L fungsi dari t sebagai pengganti default s.

            L menghasilkan symbol scalar.

• L=Laplace(F,w,z)

Membuat fungsi L dari z dan F sebagai fungsi w sebagai pengganti variable s dan t

Contoh-contoh:

>>syms t a      %inisialisasi variable

>>laplace(t*exp(-a*t))

ans=

     1/(s+a)^2

>>syms t a b

>>laplace(exp(-a*t)*cos(b*t))

ans=

     (s+a)/((s+a)^2+b^2)

>>pretty(ans)

     s+a

 -------------

  (s+a)²+ b²

>>syms t

>>f=t^4

>>laplace(f)

ans=

     24/s^5

>>syms s

>>g=i/sqrt(s)

>>laplace g

ans=

     (pi/t)^(1/2)

>>syms t a x

>>f=exp(-a*t)

>>laplace(f,x)

ans=

     1/(x+a)

8.      Inverse Transformasi Laplace

Inverse laplace digunakan untuk mengembalikan suatu fungsi dari domain frekuensi atau variable kompleks ke domain waktu. Dalam MATLAB, sintaks yang digunakan adalah:

F=iLaplace(L)

F=iLaplace(L,t)

F=iLaplace(L,y,x)

Deskripsi:

·         F=iLaplace(L)

Merupakan invers transformasi laplace dari symbol scalar F dengan variable default s. variable tersebut mengembalikan fungsi ke variable t. transformasi laplace dari fungsi s dan mengembalikan ke fungsi t.

L=L(s) à F=F(t)

Jika L=L(t), iLaplace megembalikan fungsi dalam  x:

F=F(x)

Oleh definisi:

Dimana c adalah angka real terpilih sehingga singularitas L(s) adalah sebelah kiri sumbu hayal dari bidang s (variable kompleks)

·         F=iLaplace(L,t)

Menghasilkan F fungsi dari y sebagai pengganti default t:

y adalah obyek simbolik (scalar)

·         F=iLaplace(L,y,x)

Mengambil F sebagai fungsi dari x dan L fungsi dari y sebagai pengganti variable default t dan s

Contoh-contoh:

>>syms s a b

>>ilaplace((s+a)/(s+a)^2+b^2)

ans=

     Exp(-a*t)*cos(b*t)

>>syms s

>>ilaplace(1/s^2)

ans=

     t

>>syms s a

>>ilaplace(1/(s+a)^2)

ans=

     exp(-a*t)*t

>>syms t a

>>g=1/(t-a)^2

>>ilaplcae(g)

ans=

     x*exp(a*x)

>>syms x u

>>syms a real

>>f=1/(u^2-a^2)

>>simplify(ilaplcae(f,x))

ans=

     sinh(x*abs(s))/abs(s)

>>syms s

>>F=(s^2+2*s+2)/((s+1)*(s+2));

>>f=ilaplace(F)

f=

     dirac(t)+exp(-t)-2*exp(-2*t)

>>syms s

>>F=(1/((s+1)^2*(s+2)));

>>f=ilaplace(F)

f=

     exp(-2*t)+(t-1)*exp(-t)

>>syms s

>>A=((1-s-s^2)/s*(s+1)*(s+2)));

>>b=ilaplcace(A);

b=

     ½-exp(-t)-1/2*exp(-2*t)

>>syms

>>G=(s^2+9*s+19)/((s+1)*(s+2)*(s+4));

>>g=ilaplcae(G)

g=

     11/3*exp(-t)-5/2*exp(-2*t)-1/6*exp(-4*t)

>>syms s

>>F=(2*s+12)/(s^2+2*s+5);

>>f=ilaplace(F)

f=

     2*exp(-t)*cos(2*t)+5*exp(-t)*sin(2*t)

9.      Konversi Model

Ada 4 bentuk konversi yang banyak digunakan dalam teknik control, yaitu:

1. State space to transfer function (ss2tf)
2. Transfer function to state space (tf2ss)
3. Continuous to discrete (c2d)
4. Discrete to continuous (d2c)

A.    State space to transfer function (ss2tf)

State space to transfer function (ss2tf) merupakan sebuah fungsi untuk mengubah model system dari model ruang keadaan (state space) ke model fungsi alih (transfer function).

Sintaks:

     [n,d]=ss2tf(A,B,C,D)

Sebagai contoh:

1. Ambil sebuah matriks ruang keadaan dari system

Dimana matriks:

A=           B=           C=  dan D=0

Maka untuk mengubah matriks pemodelan system dari ruang keadaan (state space) ke fungsi alih (transfer function) adalah:

>>A=[0 1 0;0 0 1;-5.008 -25.1026 -5.03247]

>>B=[0;25.04;-121.005]

>>C=[1 0 0]

>>D=0;

>>[n,d]=ss2tf(A,B,C,D)

n=

     0    0    25.0400    5.0080

d=

     1.000 5.0325     25.1026    5.00800

Artinya, fungsi alih dari ruang keadaan (state space) model  system tersebut adalah:

2. Untuk system MIMO (Multiple Input Multiple Output) atau system yang memiliki masukan dan keluaran lebih dari satu, maka sintaks MATLAB yang digunakan adalah:

[n,d]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

Dengan iu merupakan masukan yang lebih dari satu. Untuk ilustrasi, diberikan contoh sebagai berikut:

Matriks:

A=           B=       C=       D=[0 0;0 0]

Maka untuk mengubah matriks pemodelan system dari ruang keadaan (state space) ke fungsi alih (transfer function) adalah:

>>A=[0 1;-25 -4]

>>B=[0 1;0 1]

>>C=[1 0;0 1]

>>D=[0 0;0 0]

>>%Fungsi Alih untuk masukan pertama

>>[n,d]=ss2tf(A,B,C,D,1)

n=

     0    1    4

     0    0    -25

n=

     1    4    25

>>%Fungsi alih untuk masukan ke dua

>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)

num=

     0    1.0000    5.0000

     0    1.0000    -25.0000

den=

     1    4    25

Sehingga fungsi alih untuk masukan pertama adalah:

Sedangkan fungsi alih untuk masukan kedua adalah

B.     Transfer function to state space (tf2ss)

Transfer function to state space (tf2ss) merupakan sebuah fungsi untuk mengubah model system dari fungsi alih ke model system ruang keadaan (state space).

Sintaks:

[A,B,C,D]=tf2ss(n,d)

Sebagai contoh:

Sebuah fungsi alih dari system dengan satu masukan dan dua keluaran dituliskan sebagai berikut:

Sintaks MATLAB nya adalah:

>>n=[0 2 3;1 2 1]

>>d=[1 0.4 1]

>>[A,B,C,D]=tf2ss(n,d)

A=

     -0.4000    -1.0000

     1.0000          0

B=

     1

     0

C=

     2.0000          3.0000

     1.6000          0

D=

     0