Senin, 20 Mei 2013

Interpolasi Lagrange

Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi fungsi yang grafiknya melewati himpunan titik-titik yang diberikan. Interpolasi digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi hanya dengan data-data yang telah diketahui. Pada tulisan ini akan dibahas Interpolasi Lagrange atau dikenal juga dengan nama Polinom Lagrange. Perhatikan Polinom Lagrange Derajat 1 atau Interpolasi Linier, untuk interpolasi ini menggunakan pendekatan garis-gari atau persamaan linier sehingga digunakan persamaan garis untuk mengkonstruksi interpolasinya. Misal kita punya dua titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1), sehingga masing-masing titik dapat ditulis sebagai berikut :
P1(x0) = y0 = a0 + a1x0 … (i)
P1(x1) = y1 = a0 + a1x1 … (ii)
Kemudian eliminasi kedua persamaan,
y0 = a0 + a1x0
y1 = a0 + a1x1 -
y0 – y1 = a1x0 – a1x1
a1 = \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}
kemudian substitusi ke persamaan (i)
y0 = a0 + (\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}) x0
a0 = y0 – (\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}) x0
= (\frac{x_0-x_1}{x_0-x_1}) y0 – (\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}) x0
= (\frac{x_0.y_0-x_1.y_0}{x_0-x_1}) – (\frac{y_0.x_0-y_1.x_0}{x_0-x_1})
= (\frac{-x_1.y_0+y_1.x_0}{x_0-x_1})
substitusi nilai a0 dan a1 ke persamaan umum polinom p1(x), sehingga :
P1(x) = a0 + a1x
= (\frac{-x_1.y_0+y_1.x_0}{x_0-x_1}) + (\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}) x
= (\frac{-x_1.y_0+y_1.x_0}{x_0-x_1}) + (\frac{x.y_0-x.y_1}{x_0-x_1})
= (\frac{x-x_1}{x_0-x_1}) y0 + (\frac{x_0-x}{x_0-x_1}) y1
= (\frac{x-x_1}{x_0-x_1}) y0 + (\frac{x-x_0}{x_1-x_0}) y1
= 1L0 (x) + 1L1 (x)
Kemudian untuk Interpolasi Lagrange dengan menggunakan Polinom Derajar 2 atau dikenal juga dengan Interpolasi Kuadrat. Fungsi yang akan dikontruksi ini menggunakan tiga titik. Misal titik-titik tersebut adalah (x0, y0), (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x0 \neq x1 \neq x2.
P2(x0) = y0 = a0 + a1x0 + a2x02 … (i)
P2(x1) = y1 = a0 + a1x1 + a2x12 … (ii)
P2(x2) = y2 = a0 + a1x2 + a2x22… (iii)
dengan mengeliminasi persamaan (i), (ii) dan (iii), maka akan diperoleh
a0 = \frac{(x_2-x_3)x_2x_3y_0+(x_3-x_1)x_3x_1y_1+(x_1-x_2)x_1x_2y_2}{(x_2-x_3)x_1^2+(x_3-x_1)x_2^2+(x_1-x_2)x_3^2}
a1 = \frac{(x_2^2-x_3^2)y_0+(x_3^2-x_1^2)y_1+(x_1^2-x_2^2)y_2}{(x_2-x_3)x_1^2+(x_3-x_1)x_2^2+(x_1-x_2)x_3^2}
a2 = \frac{(x_2-x_3)y_0+(x_3-x_1)y_1+(x_1-x_2)y_2}{(x_2-x_3)x_1^2+(x_3-x_1)x_2^2+(x_1-x_2)x_3^2}
kemudian substitusikan nilai a0, a1 dan a2 ke persamaan P2(x) = a0 + a1x + a2x2, sehingga diperoleh :
P2(x) = [\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}] y0 + [\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}] y1 + [\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}] y2
= 2L0 (x) + 2L1 (x) + 2L2 (x)
Kemudian untuk polinom derajat 3 atau menggunakan 4 titik yaitu dengan (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3) dengan x0 \neq x1 \neq x2 \neq x3, diperoleh rumusnya sebagai berikut.
P3(x) = [\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}] y0 + [\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}] y1 + [\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}] y2 + [\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}] y3
= 3L0 (x) + 3L1 (x) + 3L2 (x) + 3L3 (x)
Secara umum maka rumus untuk Interpolasi Lagrange adalah sebagai berikut :
^nL_k(x)=\left\{\begin{matrix} =0 \quad , \quad k \neq j\\ =1 \quad , \quad k = j \end{matrix}\right.
Jika k < n, diperoleh.
nLk (x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{k-1})(x_0-x_{k+1})...(x-x_n)}{ (x_k-x_0)(x_k-x_1) ...(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})...(x_k-x_n)}
Contoh 1 :
Konstruksikan P2(x) dari titik yang diketahui berikut (0, -1),(1, -1) dan (2, 7) !
Penyelesaian :
Karena diketahui 3 titik yaitu (x0, y0) = (0, -1), (x1, y1) = (1, -1) dan (x2, y2) = (2, 7) maka digunakan rumus
P2(x) = 2L0 (x) + 2L1 (x) + 2L2 (x)
dengan,
2L0 (x) = [\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}] y0
= [\frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)}] (-1)
= [\frac{x^2-3x+2}{2}] (-1)
= \frac{-x^2+3x-2}{2}
2L1 (x) = [\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}] y1
= [\frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)}] (-1)
= [\frac{x^2-2x}{-1}] (-1)
= \frac{2x^2-4x}{2}
2L2 (x) = [\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}] y2
= [\frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)}] (7)
= [\frac{x^2-x}{2}] (7)
= \frac{7x^2-7x}{2}
P2(x) = \frac{-x^2+3x-2}{2} + \frac{2x^2-4x}{2} + \frac{7x^2-7x}{2}
= \frac{8x^2-8x-2}{2}
= 4x2 – 4x – 1
Photobucket
grafik hasil interpolasi
Contoh 2 :
Tentukan polinom yang menginterpolasi fungsi f(x) = cos x pada titik-titik x = {0, 1/3, 2/3, 1}
Penyelesaian :
Karena yang diketahui nilai “x”-nya saja, berarti dihitung dulu nilai y atau f(x).
y0 = cos (0) = 1
y1 = cos (1/3) = 0.95
y2 = cos (2/3) = 0.79
y3 = cos (1) = 0.54
P3(x) = 3L0 (x) + 3L1 (x) + 3L2 (x) + 3L2 (x), dengan
3L0 (x) = [\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}] y0
= [\frac{(x-\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3})(x-1)}{(0-\frac{1}{3})(0- \frac{2}{3})(0-1)}] (1)
= \frac{x^3-2x^2+\frac{11}{9}x-\frac{2}{9}}{-\frac{2}{9}}
= \frac{-9x^3+18x^2-11x+2}{2}
3L1 (x) = [\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}] y1
= [\frac{(x-0)(x-\frac{2}{3})(x-1)}{(\frac{1}{3}-0)(\frac{1}{3}-\frac{2}{3})(\frac{1}{3}-1)}] (0.95)
= [\frac{x^3-\frac{5}{3}x^2+\frac{2}{3}x}{\frac{2}{27}}] (0.95)
= [\frac{27x^3-45x^2+18x}{2}] (0.95)
= \frac{25.65x^3-42.75x^2+17.1x}{2}
3L2 (x) = [\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}] y2
= [\frac{(x-0)(x-\frac{1}{3})(x-1)}{(\frac{2}{3}-0)(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})(\frac{2}{3}-1)}] (0.79)
= [\frac{x^3-\frac{4}{3}x^2+\frac{1}{3}x}{-\frac{2}{27}}] (0.79)
= [\frac{-27x^3+36x^2-9x}{2}] (0.79)
= \frac{-21.33x^3+28.44x^2-7.11x}{2}
3L3 (x) = [\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x-x_2)}] y3
= [\frac{(x-0)(x-\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3})}{(1-0)(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3})}] (0.54)
= [\frac{x^3-x^2+\frac{2}{9}x}{\frac{2}{9}}] (0.54)
= [\frac{9x^3-9x^2+2x}{2}] (0.54)
= \frac{4.86x^3-4.86x^2+1.08x}{2}
P3(x) = \frac{-9x^3+18x^2-11x+2}{2} + \frac{25.65x^3-42.75x^2+17.1x}{2} + \frac{-21.33x^3+28.44x^2-7.11x}{2} + \frac{4.86x^3-4.86x^2+1.08x}{2}
= \frac{0.18x^3-1.17x^2+0.07x+2}{2}
= 0.09x3 – 0.585x2 + 0.035x + 1
Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)